Rechnen mit Brüchen

 

Obwohl eine Zahl mit einem Bruchstrich bei vielen Menschen ein ungutes Gefühl auslöst, gehen sie doch täglich damit um: Jedes Mal wenn Sie eine Pizza oder einen Apfel zerteilen oder jemanden die Uhrzeit mitteilen, ziehen Sie in Ihrem Kopf einen Bruchstrich zwischen Zähler (das ist die obere Zahl) und Nenner (der steht unter dem Strich).

 

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Um in Zukunft mit Gewinn in ein Physikbuch schauen oder auch nur einen Dreisatz aufstellen zu können, müssen Sie nur die wenigen Regeln und Techniken erlernen, die wir Ihnen in diesem Beitrag vorstellen.

Beginnen Sie mit dem Zusammenzählen (Addieren) von Brüchen. Ein Drittel plus zwei Drittel und sind drei Drittel. Das können Sie leicht im Kopf ausrechnen. Aber wieviel sind Ein Drittel und ein Halb? Schon anhand der Sprache merken Sie, dass diese Rechnung nicht so banal ist. Brüche können Sie nur zusammenzählen, wenn Sie identische Nenner haben - man nennt sie dann gleichnamig.

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Ihre Aufgabe in Gleichung (2) besteht also darin, beide Brüche so umzuwandeln, dass Sie den gleichen Nenner haben - natürlich ohne dabei ihren Wert zu verändern. Anschließend können Sie die Brüche genauso leicht addieren wie in der Gleichung (1).

Als erstes müssen Sie dazu eine Zahl finden, in der beide Nenner durch Multiplikation - salopp gesagt - drinstecken. In Gleichung (2) ist es die 6 (denn 2 x 3 ist 6 und 3 x 2 ergibt auch 6). Sie wollen also sowohl ein Halb als auch aus zwei Drittel in Sechstel umwandeln. Dazu müssen Sie die beiden Brüche erweitern (eine wichtige Technik, die Sie noch oft brauchen werden). Der Trick beim Erweitern besteht darin, dass alle Brüche, die im Zähler und im Nenner die gleiche Zahl haben, den Wert 1 besitzen.  

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Wenn Sie einen Bruch mit einer solchen Zahl (also letztlich der 1) multiplizieren, verändern Sie seinen Wert nicht. Das heißt, dass Sie dies tun dürfen, wann immer Sie wollen.

Um die beiden Brüche aus der Aufgabe (2) so zu erweitern, dass sie Sechstel werden, müssen Sie nun geeignete Brüche mit dem Wert 1 finden. Sie finden diese Erweiterungsbrüche (bei denen Zähler und Nenner gleich sind), indem Sie den neuen Nenner (hier die also die 6) jeweils durch den Nenner der Brüche teilen, die sie addieren wollen. In unserem Beispiel errechnen Sie so drei Drittel und zwei Halbe. Anschließend müssen Sie jeweils die Zähler und Nenner multiplizieren. (Die Regel zum Multiplizieren von Brüchen lautet: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner)

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Die Ergebnisse von (4) und (5) können Sie nun in Ihre Aufgabe (2) einsetzen (auch eine wichtige Technik: mathematische Elemente, die den gleichen Wert haben, können Sie beliebig aus einer Gleichung in eine andere einsetzen). Aus

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wird die leicht zu lösende Gleichung:

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Ganz nebenbei haben Sie damit noch eine weitere wichtige Technik angewendet. Sie haben den Hauptnenner gefunden. Denn (6) kann man auch etwas anders schreiben:

 

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In unserer sehr einfachen Einstiegsbruchrechnung war der Hauptnenner durch einfaches Multiplizieren der Nenner zu finden (2 x 3 = 6). Bei größeren Nennern erreichen Sie so aber oft unhandlich große Zahlen. Im folgenden Beispiel müssen Sie zunächst den Hauptnenner 72 x 48 = 3456 ausrechnen, und diesen, wie Sie oben gelernt haben, durch die Nenner Ihrer Aufgabenbrüche teilen.

 

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Natürlich können Sie jetzt kürzen, d.h. Sie teilen Zähler und Nenner durch die größte Zahl, die in beiden enthalten ist - hier ist es die 192 (hätten Sie das gewusst?):

 

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Viel eleganter ist es, als Hauptnenner eine kleinere Zahl zu finden, die beide Nenner enthält. Mathematik-Experten suchen das Kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Sie können beginnen, indem Sie die größere Zahl verdoppeln und anschließend prüfen, ob sich das Ergebnis durch den kleineren Nenner teilen lässt (wenn das nicht gelingt, verdreifachen Sie und prüfen, ob sich das Ergebnis durch die kleinere Zahl teilen lässt, usw.). Für Aufgabe (8) bedeutet dies:

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Mit diesem schönen Hauptnenner (Mathematiker behaupten oft, ihre Zahlen seien schön) können Sie nun eine viel übersichtlichere Gleichung aufschreiben.

 

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Auf die 8, mit der Sie hier kürzen können, wären Sie mit wenig mehr als dem kleinen Einmaleins gekommen:

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Nachdem Sie nun systematisch gelernt haben, Brüche zu addieren, wird es Sie nicht überraschen, dass Sie für das Subtrahieren die gleichen Regeln benutzen können.

 

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Um diesen Grundkurs im Bruchrechnen abzuschließen, fehlt nur noch das Dividieren. Zum Glück ist das einfach und elegant:


Man teilt einen Bruch durch eine Zahl, indem man ihn mit deren Kehrwert multipliziert.

Natürlich wissen Sie, dass Sie den Kehrwert erhalten, wenn Sie Zähler und Nenner vertauschen. Von jeder anderen Zahl erhalten Sie den Kehrwert, indem Sie sie als Nenner unter den Zähler 1 schreiben.

 

Das Multiplizieren von Brüchen haben wir ja schon nebenbei gelernt:

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Mehr brauchen Sie nicht:

 

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Oft werden Sie anstelle des Geteiltzeichens einen Bruchstrich vorfinden:

 

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Jede Zahl unter Ihrem Bruch (in Gleichung (17) die 3 unter ein Halb) können Sie mit der Kehrwert-Technik nach oben holen, so dass Sie keinen Doppelbruch mehr haben:

 

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Sie müssen bei Brüchen mit mehreren Bruchstrichen unbedingt darauf achten, dass der Hauptbruchstrich etwas länger ausgeführt wird. Hier hilft wieder die Sprache: Ein Halb geteilt durch Drei ergibt ein Sechstel (Gleichung (17)), aber Eins geteilt durch zwei Drittel wird zu drei Halbe:

 

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Ein Bruch mit einer Null im Zähler ergibt immer Null, während der Nenner niemals Null sein darf. (Teilen durch Null ist nicht möglich).

Vor Minuszeichen sollten Sie keine Angst haben, sie können Sie beliebig umher schieben. Und natürlich gilt:

Minus geteilt durch minus ergibt plus.

 

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In Gleichung (19) haben Sie noch ein kleines aber wichtiges Werkzeug kennen gelernt: Faktoren (hier die -1) darf man vor oder auf den Bruchstrich schreiben. Wenn Ihnen ein Bruch also zu kompliziert erscheint, können Sie störende Faktoren also erst einmal „vor die Tür“ stellen - um sie bei Bedarf wieder zurück zu holen:

 

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Sie beherrschen nun die vier Grundrechenarten im Bereich der rationalen Zahlen (so wird die Gesamtheit der ganzen Zahlen und der Brüche bezeichnet). Sie haben grundlegenden Techniken gelernt, um mit Brüchen umgehen zu können: Erweitern, Kürzen, Hauptnenner finden. Aber fehlt nicht noch etwas?


In der Summe kürzt nur der Dumme.

 

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Natürlich wissen Sie jetzt, warum das so ist. Die 4 in der Ungleichung (24) ist ja der Hauptnenner der Summanden 3 und 2:

 

 

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Durch das verbotene Kürzen würden Sie also den Nenner beider Summanden und damit den Wert des ganzen Bruches verändern.

Natürlich gibt es noch viel kompliziertere Brüche. Aber immer wenn Sie nicht weiter kommen: Sie sollten zunächst prüfen, ob Sie alle hier erlernten Techniken korrekt und zu Ihrem Vorteil angewendet haben - und natürlich müssen Sie alle oben genannten Regeln beherzigen.
Schließlich gilt: "Dumm" heißt in der Mathematik nur "muss noch mehr üben"!

 
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