Die kleine Mathematik der Speziellen Relativitätstheorie

Die Zeit-Gleichung zerlegen

Dieser Beitrag ist der erste aus einer neuen Reihe über Mathematik. Dies ist die Bildungsecke für Menschen, von denen es im Wirtschaftsteil Ihrer Tageszeitung (wo sich Handwerkskammerfunktionäre über heutzutage angeblich besonders dumme Azubis beklagen) heißt, sie beherrschten nicht mal einen Dreisatz. Falls Sie auch mit Zahlen und Formeln auf dem Kriegsfuß stehen, sind Sie hier genau richtig. (Wenn Sie sich noch einmal mit Bruchrechnung beschäftigen wollen, bevor Sie sich an die Relativitätstheorie wagen, lesen Sie zuerst unseren Beitrag zum Umgang mit Brüchen.)

Wir beginnen mit einem Sprung ins kalte Wasser und schauen uns die Formel an, die wir bei dem kleinen Artikel über die Einsteinsche Relativitätstheorie kennengelernt haben. Werfen Sie einen scheuen Blick, ohne zu rechnen:

 

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Obwohl es sich hier keineswegs um höhere Mathematik handelt, sieht sie tatsächlich schrecklich aus. Es handelt sich um die Lorentzkontraktion, die  Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) im Jahr 1892 einführte, und die Albert Einstein später für seine spezielle Relativitätstheorie nutzte. Um diese Gleichung (und auch alle weiteren mathematischen Aufgaben Ihres neuen Lebens, das keine Angst vor Zahlen mehr kennt) zu durchschauen, sollten Sie die beiden folgenden Strategien beherzigen:

(A) Finden Sie heraus, worum es geht.

(B) Zerlegen Sie die Aufgabe in ihre Teile und lösen Sie diese nacheinander auf.

So werden Sie lernen, schrittweise und sicher der Lösung entgegen zu gehen.
Offenbar geht es bei Gleichung (1) darum, eine Zeitspanne herauszufinden. Das physikalische Formelzeichen der Zeit ist das t. (Sie könnten für Ihre Rechnung auch jeden anderen Buchstaben nehmen.) Wenn Sie den ganz rechts gelegen Teil (Mathematiker nennen die durch Operationszeichen, hier das Malzeichen, verknüpften Teile Terme) finden Sie eine Zeitspanne: 1061 Millisekunden (Die Sekunde [s] ist die Einheit der Zeit, und eine tausendstel Sekunde ist eine Millisekunde [ms]). Die gesuchte Zeit t erhalten Sie, indem 1061 ms mit einer anderen Zahl multipliziert wird. Diese andere Zahl steckt in dem kompliziert aussehenden Term:  

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Um alles übersichtlicher zu machen und um zu verstehen worum es geht (Strategie A) nennen Sie diesen Term jetzt „Rf“. Das ist ein beliebiger Phantasiename, die Abkürzung für „Relativitätsfaktor“. Um unübersichtliche Gleichungen, die Sie nicht auf einen Blick erfassen können, überschaubar zu machen, können Sie komplizierte Terme erst mal durch einen Buchstaben ersetzen und dann später ausrechnen (Strategie B).

Die Gleichung sieht dann so aus:

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Nun erkennen Sie, was Einstein hier berechnen wollte. Er wollte eine Zeitspanne (t) herausfinden, indem er sie mit einem Faktor (Rf) multiplizierte. Und natürlich wissen Sie: Ist der Faktor größer als 1 wird das Produkt (so heißt ja bekanntlich das Ergebnis einer Multiplikation) größer als der zweite Faktor. Ist Rf kleiner als 1 wird t kleiner als 1061 ms.

Beispiele:

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Jetzt müssen wir aber doch den großen Term knacken. Beginnen Sie mit dem Bruch:

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Da werden zwei riesige Zahlen quadriert, (Mathematikerdeutsch für „mit sich selbst multiplizieren“ oder Potenzieren mit dem Exponenten 2). Im Zähler steht die Geschwindigkeit der zwei Planeten, im Nenner die Lichtgeschwindigkeit. Sie könnten jetzt beginnen, die beiden Zahlen zu quadrieren - oder sich an die Regel erinnern, dass das Verhältnis zweier Zahlen nach dem Potenzieren mit dem gleichen Exponenten gleich bleibt - also:

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Natürlich haben Sie bemerkt, dass wir die km/s einfach weg gelassen haben. Das dürfen Sie! Eine Einheit hinter einer Zahl ist nämlich eine Multiplikation. Also 5 kg bedeutet eigentlich 5 mal Kilogramm. Wenn aber über und unter dem Bruchstrich mit der gleichen Zahl (oder in diesem Fall einer Einheit) multipliziert wird, kann man sie einfach wegkürzen.

Aus

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wird also:

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Jetzt nur noch die Wurzel, die erste Umkehrung des Potenzierens (die zweite Umkehrung ist das Logarhithmieren). Sie erinnern sich:

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Wenn wir unseren schön vereinfachten Term in den Taschenrechner tippen, lernen wir, dass Zahlen, die kleiner als 1 sind, durch das Quadratwurzelziehen größer werden (aber niemals größer als 1):

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 Jetzte habe Sie Rf berechnet. Sie setzen ihn als Faktor in Gleichung (1) ein:

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wird zu:

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Sie erahnen das Ergebnis, nehmen wegen der Stellen hinter dem Komma aber den Taschenrechner:

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Zum Glück haben wir Strategie A beherzigt und wissen, worum es geht (Einsteins Spezielle Relativitätstheorie): Sie messen von Ihrem Raumschiff aus eine Zeitspanne in einem schnellbewegten System (Planet und Mond) und stellen fest, dass Ihre Uhr einen um etwa 61 Millisekunden längeren Zeitraum anzeigt, als die Uhr eine Mannes auf dem Planeten:

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.
Jetzt beherrschen Sie die Mathematik zum physikalischen Phänomen der Relativität (genau genommen zu einem winzigen Ausschnitt dieser sehr komplizierten Theorie). Probieren Sie jetzt selbst aus, wie sich das Ergebnis (die relativistische Zeit) verändert, wenn sie die Geschwindigkeit verändern! 

 
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